約数の問題 答！

ずーっと前に、このブログに約数の問題を書いた。
で、その答えを書くのをずーっと忘れていた。
私の頭もニワトリ並みだ (-_-;)。
なぜ急に思い出したかって？
昨日、実家の父から指摘されたのだ。
国際電話で・・・(!!)。

今回、問題文を読み直してみて、最後の部分に修正を加えた。
　修正前　
　『扉が開いているすべてのロッカー番号を求めなさい』
　修正後　
　『扉が開いているロッカーは何個ありますか』
こうした方が、よりスマートな問題になるような気がする。

忘れないうちに答えを・・・
ちなみに問題は、２００８年１０月１５日のブログ
http://yaya-fromct.blogspot.com/2008/10/blog-post_2482.html

この問題を解くポイントは次の３つ。
　①　最後に扉が閉まっているのは、
　　　　何人の人が扉に触ったときか。
　②　ある番号のロッカーに触れるのは、
　　　　何番目の人か？
　③　約数の個数が奇数個ある数って、どんな数？

ポイント①
最後に扉が閉まっているのは、何人の人が扉に触ったときか。
始め全てのロッカーの扉は閉まっている。
扉に触った人（『開く』または『閉じる』の動作をした人）が
　　１人なら『開』　　　　　　　　　で扉は開いている
　　２人なら『開』『閉』　　　　　　で扉は閉まっている
　　３人なら『開』『閉』『開』　　　で扉は開いている
　　４人なら『開』『閉』『開』『閉』で扉は閉まっている
　　・・・・・・・
つまり、扉に触った人が
　　奇数人のとき、扉は開いている。
　　偶数人のとき、扉は閉じている。

ポイント②
ある番号のロッカーに触れるのは、何番目の人か？
X人目に人はXの倍数のロッカーにしか触れない。
見方を変えると、Y番のロッカーに触れるのはYの約数人目の人だけ。
　　（↑ 倍数と約数の関係をよーく考えてみて！）
　　（↑ 一番下の表が参考になるかも・・・）
たとえば、
　　６番ロッカーに触れるのは、
　　　　１、２、３、６人目の人のみ
　　８番ロッカーに触れるのは、
　　　　１、２、４、８人目の人のみ
　　１２番ロッカーに触れるのは、
　　　　１、２、３、４、６、１２人目の人のみ

ポイント①、②より、最後に扉が開いているロッカーは、
　　ロッカー番号の約数が奇数個あるロッカー
である。

ここで、ポイント③
約数の個数が奇数個ある数って、どんな数？
ポイント②の例のように、通常、約数は偶数個存在する。
が、約数の個数が奇数個のものも存在する。
それが、平方数（同じ数を掛けてできる数）。
たとえば、
　　４（＝２×２）の約数は、
　　　１，２，４の３個
　　３６（＝６×６）の約数は、
　　　１，２，３，４，６，９，１２，１８，３６の９個

ポイント①～③より
最後に扉が開いているロッカー番号は、ロッカー番号が平方数のロッカーである。
開いているロッカーは小さいほうから順番に
　ロッカー①　　（１＝１×１）
　ロッカー④　　（４＝２×２）
　ロッカー⑨　　（９＝３×３）
　・・・・・・・
ってことになる。
全部調べるのも面倒なので、１０００に近いところを調べると、
　３０×３０＝９００
　３１×３１＝９６１
　３２×３２＝１０２４
だから、全部で３１個のロッカーの扉が開いている。（答）


もし、修正前の問題のように『すべてのロッカー番号を求める』のなら、
１×１＝１番ロッカー
２×２＝４番ロッカー
３×３＝９番ロッカー
４×４＝１６番ロッカー
・・・と順番に計算して・・・

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,
121,144,169,196,225,256,289,324,361,
400,441,484,529,576,625,676,729,784,841,900,
961番ロッカー（答は３１個！）
　　（アメリカでは数学の時間に電卓が使える。
　　　だから、こんな問題が存在してしまうのかも。）


リオが一番頭を悩ませたのが、ポイント②のところ。
そこで、こんな表を書いて説明したら、ようやく理解してくれた。
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